ראשי > כללי > מה עם החצי השני? – איך גוזרים פונקציה חצי פעם, ולמה זה משנה

מה עם החצי השני? – איך גוזרים פונקציה חצי פעם, ולמה זה משנה

הרשימה הבאה נכתבה בשיתוף עם דר' אמיר סגל. כן, כן, ההוא מהזה.

———————————————————————————————-

בשנת  1695 שאל המתמטיקאי המרקיז דה לופיטל את עמיתו גוטפריד וילהלם לייבניץ: "מה יתקבל אם נבצע את פעולת הגזירה חצי פעם?"

התגובה של לייבניץ הייתה: " פרדוקס שביום מן הימים יניב תוצאות מעניינות".

בואו וננסה להבין על מה דיברו השניים, והאם התגשמה תחזיתו של לייבניץ. אתם אולי יודעים איפה אנחנו מתחילים, אבל לא בטוח שאתם יכולים לנחש היכן נסיים.

נגזרת 101

נפתח בהעלאת זיכרונות מבית הספר: רכבת יצאה מהתחנה בחיפה והגיעה כעבור 60 דקות לתחנה בתל-אביב לאחר שעברה 100 קילומטרים. מה הייתה מהירותה של הרכבת? עצרו רגע לפני שאתם עונים, מכיוון ש- 100 קמ"ש היא רק המהירות הממוצעת של הרכבת. מתוך הנתונים בשאלה לא ניתן לדעת מה הייתה מהירותה של הרכבת בכל רגע ורגע במהלך נסיעתה, אלא אם היא הייתה קבועה לאורך כל הנסיעה.

רכבת ישראל

תמונה 1: רכבת נוסעים דו-קומתית מכיוון פתח-תקווה לת"א. המקור: ויקיפדיה.

מהי בכלל מהירות? מהירות הרכבת היא קצב השינוי במיקומה ביחס לנקודת ייחוס כלשהיא. אם קצב שינוי מיקומה של הרכבת גדול אז היא נוסעת מהר, ולהפך, אם הרכבת נוסעת לאט, מיקומה אינו משתנה במידה רבה בזמן נתון. אך מהו אותו זמן נתון? כדי לקבל את המהירות בכל רגע ורגע נצטרך לקחת זמנים יותר ויותר קצרים.

סביב שנת 1666 ניסחו אייזיק ניוטון ולייבניץ, פחות או יותר במקביל, את החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי (הויכוח ביניהם אודות הבכורה הוא נושא לרשימה נפרדת). במסגרת זו הוגדרה הנגזרת, שהיא מושג מתמטי חשוב שבו עושים שימוש בכל תחומי המדע.

אם נביט על גרף המתאר פונקציה מסוימת ונסמן בו שתי נקודות, ניתן לשאול מהו המרחק בין הנקודות על הציר האופקי ומה המרחק בין הנקודות על הציר האנכי. היחס בין המרחקים נותן את השיפוע הממוצע של הגרף בין שתי הנקודות (ראו איור 2א). בגבול שבו המרחק בין הנקודות שואף לאפס (איור 2ב), היחס נותן את השיפוע המקומי של המשיק לגרף (איור 2ג), וזוהי הנגזרת. הסבר פורמלי ניתן לקרא כאן.

נגזרת

איור 2: הנגזרת היא השיפוע של המשיק בנקודה ומתקבלת בגבול ש-h שואף לאפס. המקור: ויקיפדיה.

כעת נניח שהגרף מתאר את מיקום הרכבת כתלות בזמן. השיפוע של הגרף בכל נקודה מציין את השינוי במיקום ליחידת זמן, כלומר את קצב השינוי במיקום הרכבת. מכאן שתוצאת הנגזרת של הגרף היא מהירות הרכבת בכל נקודת זמן. ומה יקרה אם נגזור את פונקצית המיקום פעמיים? נקבל את קצב השינוי של קצב השינוי במיקום, כלומר את קצב השינוי במהירות, כלומר את תאוצת הרכבת.

ומה יקרה אם נגזור פעם וחצי, או חצי פעם?

מההבט הגאומטרי זה עלול להשמע כמו קישקוש מוחלט, אבל כמו בדוגמאות אחרות במתמטיקה, מעבר מחשיבה גאומטרית לחשיבה אלגברית עלול לפתוח אפיקים חדשים.

נגזרות מסדר לא שלם

מסתבר שהרבה מתמטיקאים מפורסמים דנו בשאלה המוזרה הזו (החבר'ה הטובים פורייה, אוילר, לפלס, רימן, ליוביל ועוד). קיימות כיום מספר הגדרות של נגזרות מסדר שאינו שלם, ואני אציג את אחת מהן באיור הבא עלינו לטובה. בשלב זה אין מנוס ממעט מתמטיקה, ולכן מי שמתמטיקה דווקא אינה באה עליו לטובה, יכול לדלג בקלילות לקטע הבא. הוא אינו תלוי בניסוח המתמטי.

נגזרת מסדר לא שלם

קופסא 3: אחת הדרכים להגדיר נגזרת מסדר לא שלם.

אז למה זה טוב?

דיפוזיה היא תהליך של פיזור חומר במורד מפל ריכוזים, מריכוז גבוה לנמוך, עד להגעה לשוויון ריכוזים. ברמת החלקיק הבודד הדיפוזיה היא תהליך של תנועה בעלת מרכיב אקראי. דמיינו אדם שיכור הצועד (על קו ישר) לפעמים קדימה ולפעמים אחורה באופן אקראי (ראו איור 4). לאחר זמן מסוים, המרחק הממוצע של השיכור מנקודת המוצא יהיה פרופורציונלי לשורש ריבועי של הזמן בו הלך (כה אמרה המתמטיקה…). זהו מאפיין של דיפוזיה רגילה. בטבע ישנן מספר רב של מערכות שבהן נצפתה דיפוזיה מסוג זה (למשל תנועה בראונית), אך יש גם מערכות חריגות בהן התלות שונה משורש הזמן (לדוגמא מערכות פרקטליות). במערכות אלה מתקיימת דיפוזיה אנומלית.

Random_Walk_example

איור 4: הילוך שיכור. המרחק מנקודת ההתחלה של השיכור כפונקציה של הזמן עבור שמונה שיכורים שונים. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה ע"י המשתמש Morn.

המודל שמתאר דיפוזיה אנומלית הינו הרחבה של מודל מהלך השיכור. במודל המורחב השיכור מתחכם: בכל צעד הוא בוחר איזה מרחק לעבור מתוך קבוצה של מרחקים אפשריים (התפלגות), ולאחר מכן הוא בוחר כמה זמן להמתין עד לצעד הבא מתוך התפלגות זמנים. עבור התפלגות מסוגים מסוימים תתקבל דיפוזיה אנומלית (למשל התפלגות בעלת זנב ארוך מאוד, דעיכה לפי חוק חזקה).

אז איך כל זה קשור לנגזרות?

דיפוזיה רגילה ניתנת לתיאור ע"י משוואה הכוללת נגזרות מסדר ראשון ושני. דיפוזיות אנומליות לעומת זאת ניתנות לתיאור ע"י משוואה הכוללת נגזרות מסדר לא שלם (סדר הנגזרת תלוי בחוק החזקה של דעיכת ההתפלגויות). כלומר כדי לפתור מערכות שבהן ישנה דיפוזיה אנומלית אנחנו צריכים לדעת לחשב נגזרות מסדר לא שלם.

בשנים האחרונות זכתה הדיפוזיה האנומלית לתשומת לב רבה כאשר נמצאו מערכות פיזיקליות רבות שבהן היא מככבת בתפקיד ראשי. אחת הדוגמאות המעניינות היא דיפוזיה במערכות חלקיקים צפופות כגון דיפוזיה של חלבונים בתוך התא. (וכהערת אגב, פרופ' יוסף קלפטר המכהן בימים אלה כנשיא אוניברסיטת תל אביב הוא אחד המומחים בתחום הדיפוזיה האנומלית).

אז התחלנו ברכבות, ואז למדנו לגזור אותן פעם, פעמיים ואז חצי פעם. ניתחנו את תנועתם של שיכורים במימד אחד, ולבסוף הגענו לדיפוזיה ולתנועת חלבונים בתוך תאים. "תוצאות מעניינות" לפי דעתי. לייבניץ צדק.

מודעות פרסומת
  1. 15/12/2012 ב- 7:36 am

    זה היה מעניין!

  2. asddadasdas
    15/12/2012 ב- 1:22 pm

    שים לב שהנוסחא עבור הנגזרת לא מוגדרת עבור a שלילי ושלם, עבור המקרה N=1.

    • אמיר ס.
      16/12/2012 ב- 7:29 am

      אמנם פונקציית גמא מתבדרת עבור ערכים שליליים שלמים, אבל המשוואה של הנגזרת החלקית מכילה חלוקה של שתי פונקציות גמא. החלוקה של פונקציות הגמא מתכנסת כנדרש (עפ"י וולפרם אלפא).

      • asddadasdas
        18/12/2012 ב- 7:28 am

        רק כשלוקחים את הגבול. מעניין אם זה תופס בהגדרה של ההמשכה האנליטית.

      • asddadasdas
        18/12/2012 ב- 7:41 am

        ומה עם לעשות חצי נגזרת לx^{-3.5}? זה לא בעייתי שהגדרת הנגזרת לא מוגדרת?

  3. 15/12/2012 ב- 2:57 pm

    תודה גלעד.
    תודה גם לאסדדסדס על ההערה. עברו שנים רבות מאז שהתעסקתי בפעם האחרונה בפונקצית גמא. אני אתייעץ עם החצי החכם יותר לגבי המשמעות של המגבלה 🙂

  1. 12/01/2013 ב- 4:41 am
  2. 07/03/2014 ב- 3:41 pm
  3. 23/10/2015 ב- 4:50 pm

להשאיר תגובה

הזינו את פרטיכם בטופס, או לחצו על אחד מהאייקונים כדי להשתמש בחשבון קיים:

הלוגו של WordPress.com

אתה מגיב באמצעות חשבון WordPress.com שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Twitter

אתה מגיב באמצעות חשבון Twitter שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Facebook

אתה מגיב באמצעות חשבון Facebook שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת גוגל פלוס

אתה מגיב באמצעות חשבון Google+ שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

מתחבר ל-%s

%d בלוגרים אהבו את זה: