ראשי > כללי > יותר זה פחות – על הנקודה בה נפגשות תורת המשחקים והמכניקה הניוטונית

יותר זה פחות – על הנקודה בה נפגשות תורת המשחקים והמכניקה הניוטונית

אחת השאלות המעניינות בעולם הפקוק בו אנו חיים היא: האם פתיחת כביש חדש מובילה בהכרח להורדה בעומסי התנועה?

לפני זמן מה נתקלתי בפרדוקס ברס (Braess), הלקוח מתורת המשחקים. הפרדוקס מציג מצב שבו הוספת אפיק נוסף לרשת תעבורה עמוסה אינה בהכרח משפרת את הזרימה ועלולה אף לפגוע בה. למעשה, פרדוקס ברס אינו באמת פרדוקס, אך הוא בהחלט מהווה דוגמא טובה לתוצאה מתמטית מאוד לא אינטואיטיבית. ביישום למקרה של עומסי תנועה בכבישים, הפרדוקס לכאורה מראה שבמקום בו יש עומסי תנועה, פתיחת כביש נוסף לא בהכרח תוריד את זמן הנסיעה, ואולי אף תאריך אותו. אני אראה בהמשך שלפרדוקס ברס קיימות דוגמאות נוספות שאינן לקוחות מעולם התעבורה.


איור המציג את פרדוקס ברס.

פרדוקס ברס

בחלק א' של האיור למעלה מתוארים שני מסלולים אפשריים (A ו-B) להגיע מנקודת ההתחלה לסיום. הזמן שלוקח לעבור כל חלק של הדרך מסומן באות 't', ומספר המכוניות בדרך מסוימת מסומן באות 'N'. בחלק מהמסלולים זמן הנסיעה תלוי בעומס, דרך תלות ב- N, ובחלק מהמסלולים הוא אינו תלוי (דוגמא מציאותית: דרך מהירה אל מול דרך מרומזרת). ההנחה בסוג זה של בעיות היא שהנהגים יודעים כמה זמן לוקח לעבור כל חלק ושמטרתם היא לקצר את זמן הנסיעה שלהם. מכיוון שהדרכים A ו-B זהות מבחינת זמן הנסיעה הכולל, חצי מהנהגים יבחרו ב-A וחצי ב-B. אם נניח לדוגמא שישנם 4000 נהגים אז זמן הנסיעה בשתי הדרכים יהיה 65 דקות.

במקרה המתואר בחלק ב' של האיור נפתח כביש נוסף שמאפשר החלפה בין המסלולים באמצע הדרך. ברור כעת שכדאי לנהגים להתחיל במסלול A ובאמצע להחליף ל-B. אך כאשר כל 4000 הנהגים ינהגו כך, זמן הנסיעה של כולם יתארך ל-80 דקות. אם יחליט אחד הנהגים לחזור למסלול הישן (A או B), זמן הנסיעה שלו יהיה אף ארוך יותר (85 דקות). כלומר, פתיחת נתיב תחבורה נוסף האריכה את זמן הנסיעה ולא קיצרה אותו.

הסיבה לתוצאה הזאת היא שכל הנהגים המתוארים כאן תמיד יבחרו בדרך הכי מהירה וכתוצאה מכך יפקקו אותה. לקוראים המעוניינים בתיאור מפורט ומדויק יותר, אני ממליץ לקרא פוסט בנושא בבלוג 'לא מדויק'.

אמנם נוח מאוד להסביר את הפרדוקס על ידי דוגמא העוסקת בנהיגה מכיוון שהיא מתארת מצב המוכר לנו מחיי היום יום, אך יש לשאול האם המודל המתמטי הזה באמת מתאים לתאר מקרים מציאותיים של התנהגות נהגים בכבישים עמוסים. האם כך יתנהגו נהגים 'אמיתיים' בסיטואציה הזאת?

האמת היא שאני לא יודע, וזה כנראה תלוי בהרבה תנאים. אבל כך או אחרת, מסתבר שישנם מקרים אנלוגיים בהם השאלה הזאת אינה רלוונטית מכיוון שבמקרים אלה אין צורך בבני אדם. הבה נבחן אחד מהם הלקוח ממאמר שפורסם בעיתון המדעי Nature.

עולה או יורד?


רשת הקפיצים לפני החיתוך.

האיור למעלה מתאר מצב שבו גוף (סגול) תלוי מהתקרה באמצעות שני קפיצים (שחורים) המחוברים אחד לשני בחבל (כחול). כמו כן, קצהו העליון של הקפיץ התחתון מחובר בחבל (אדום) לתקרה וקצהו התחתון של הקפיץ העליון מחובר בחבל (אדום) לגוף. במצב המתואר באיור, החבלים האדומים רפויים והחבל הכחול מתוח.

כעת גוזרים את החבל הכחול וכתוצאה מכך החבלים האדומים נמתחים כפי שניתן לראות באיור למטה. האם הגוף יעלה או ירד בעקבות ניתוק החבל הכחול והימתחות החבלים האדומים?

מכיוון שכל הערכים הדרושים לחישוב מצויים על גבי האיור הראשון, אלה מכם שמכירים את חוקי המכניקה יוכלו בקלות להגיע לתשובה. אך מעניין הרבה יותר לנסות לענות ללא חישוב, בעזרת האינטואיציה בלבד. את זה יכולים לעשות כולם.

רשת הקפיצים לאחר החיתוך.

התשובה האינטואיטיבית עבור רוב האנשים היא שהגוף ירד מכיוון שהחבלים האדומים ימתחו, אך למעשה ניתן להראות שהגוף דווקא יעלה. הסיבה לכך היא שלמרות שהחבלים האדומים נמתחים, הקפיצים מתכווצים ובסך הכול הגוף עולה. הסיבה לסיבה היא שחוזקם של שני קפיצים המחוברים במקביל כפול מחוזקו של קפיץ בודד. לעומת זאת, חוזקם של שני קפיצים המחוברים בטור שווה לרבע למחצית מחוזקו של קפיץ בודד.

עדיין לא מאמינים? הנה קישור לסרטון יוטיוב המדגים זאת בניסוי.

שימו לב שהדוגמאות של הכבישים והקפיצים עובדות כרונולוגית בסדר הפוך, כאשר הכביש המחבר בין A ל-B שקול לחבל הכחול המחבר בין שני הקפיצים.

מכיוון שקשה מאוד לקשר באופן אינטואיטיבי בין בעיית הזרימה המקורית לבעיית החבלים והקפיצים, הכותבים מראים במאמר שניתן לקבל את האפקט גם במערכות שקולות של זרימת נוזלים או זרימה חשמלית.

כיצד נוצר הקשר בין בעיית הקפיצים לבעיית הזרימה המקורית? הסוד טמון בשתי נקודות חשובות. הנקודה הראשונה היא שימור בצמתים. מספר המכוניות הנכנסות לצומת שווה למספר המכוניות היוצאות ממנו, ובדומה הכוח הפועל למעלה בצומת שווה לכוח הפועל למטה באותו צומת (כלומר הכוח שקול לזרם). הנקודה השניה היא שמסלולים שמחברים בין צמתים, ופעילים בו זמנית, חייבים לגבות מחיר זהה. כלומר, אם שתי דרכים נמצאות בשימוש בו זמנית, אז זמן המעבר בהן שווה או באנלוגיה הימתחות הקפיץ בהן שווה (הגוף תמיד מאוזן).

הכותבים של המאמר מסכמים בכך שההתנהגות האנלוגית לפרדוקס ברס וודאי נמצאת בעוד מערכות זרימה קלאסיות וכל שנותר הוא לחפש אותן. השנה התפרסם מאמר בכתב העת המדעי הנחשב ביותר בפיזיקה – Physical Review Letters – ובו מראים החוקרים את האפקט, אך הפעם במערכת הולכת זרם קוונטית! אבל דיה לצרה בשעתה.

———————————————————————-

לקריאה נוספת:

על פרדוקס ברס מנקודת מבט קצת אחרת בבלוג הומו סאפיינס.

מודעות פרסומת
  1. 27/08/2014 ב- 8:00 pm

    נתקלתי פתאום בסרט מוצלח יותר מזה שקישרתי אליו ברשימה שמדגים את עניין הקפיצים:

  1. No trackbacks yet.

להשאיר תגובה

הזינו את פרטיכם בטופס, או לחצו על אחד מהאייקונים כדי להשתמש בחשבון קיים:

הלוגו של WordPress.com

אתה מגיב באמצעות חשבון WordPress.com שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Twitter

אתה מגיב באמצעות חשבון Twitter שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Facebook

אתה מגיב באמצעות חשבון Facebook שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת גוגל פלוס

אתה מגיב באמצעות חשבון Google+ שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

מתחבר ל-%s

%d בלוגרים אהבו את זה: