ראשי > כללי > על עיקרון ההירארכיה, הליכות ונימוסים והשאלה: האם המתמטיקה שייכת למדעי הטבע?

על עיקרון ההירארכיה, הליכות ונימוסים והשאלה: האם המתמטיקה שייכת למדעי הטבע?

בימי כסטודנט באוניברסיטה נתקלתי בעיקרון שאינו מועבר בהרצאות ואינו כתוב בספרים, אך בכל זאת מופנם על ידי כל הסטודנטים למדעי הטבע. הוא מועבר מאחד לשני בקריצת עין, בהינף יד, באנקדוטה המתגלגלת בחלל האוויר ולפעמים אפילו באמירה בוטה. אני אכנה אותו כאן "עקרון ההירארכיה". העיקרון מתאר את קיומה של הירארכיה בתחום מדעי הטבע. בראשית הפירמידה מתייצבת הפיזיקה העוסקת בעקרונות הכלליים ביותר המתארים את העולם. אחריה באה הכימיה שהיא סוג של פיזיקה יישומית וכך הלאה עם מדעי ההנדסה, מדעי החיים, אתם כבר מבינים את העיקרון. אך שימו לב, ישנו תחום מדעי חשוב שממנו התעלמתי – המתמטיקה. היכן ניצבת המתמטיקה בהירארכיה? xkcd סבור שהתשובה היא: רחוק למעלה. אני סבור שראשית אנו צריכים לקבוע האם המתמטיקה בכלל שייכת למדעי הטבע.

לוח אופייני להרצאה בטופולוגיה אלגברית. כך לפחות על פי מי שצילם את התמונה ושם אותה בוויקיפדיה.

הערה חשובה לפני שמתחילים: הרשימה הפעם היא יותר בסגנון טור דעה ויש להתייחס אליה בהתאם. אם דעתכם שונה משלי או שהטיעונים נראים לכם שגויים או תמוהים אני אשמח אם תסבירו בתגובות.

מדוע הפיסיקה שייכת למדעי הטבע? מכיוון שהיא שמה לה למטרה לתאר את הטבע הנגלה לעינינו, את חוקיו ואת דרך פעולתו בצורה מובנית ובכלים העומדים לרשותה. הטבע, יש לזכור, קיים שם גם אם לא נתאר אותו וגם אם התיאור שלנו ישתנה במשך הזמן. תפוחים נשרו מן העץ אל האדמה גם לפני שנוסחו חוקי הגרביטציה והמשיכו ליפול באותה צורה גם לאחר שנוסחה תיאוריית היחסות הכללית. הפיסיקה מגלה לנו משהו חדש על העולם. האלקטרון היה שם גם לפני שחשבנו עליו, אך כעת אנו יודעים על קיומו ומבינים את תכונותיו (לפחות חלק מהן). ולבסוף אציין שתיאור העולם על ידי הפיסיקה לעולם אינו מושלם. תמיד נוכל לשפר ולדייק יותר ולמצוא מודלים קרובים יותר למציאות.

האם מתמטיקה מתארת את הטבע? נבחן כמה דוגמאות. כידוע, במתמטיקה מייצגת האות היוונית פאי את היחס בין היקף המעגל לבין קוטרו. אך האם נוכל למצוא מעגל כזה? למעשה לא, מכיוון שהצורה המתוארת ע"י פאי היא האידיאל של המעגל ואינה קיימת במציאות (אם כי מהווה קירוב מצוין לרב המעגלים).

בעזרת המתמטיקה ניתן לייצר היגדים קונסיסטנטיים שאינם בעלי משמעות במציאות. לדוגמא התרגיל הבא:   i+(i+1)=2i+1, כאשר i מייצג את השורש הריבועי של 1-. האם מספרים דמיוניים (מרוכבים, המכילים את i) מתארים את הטבע? לטעמי לא. מספר מרוכב לעולם לא יהיה תוצאה של ניסוי ולכן לא ניתן לחזות בו [1].

למיטב זכרוני, המקום היחיד שבו מספר דמיוני מופיע במשוואות הבסיסיות המתארות את התופעה הפיסיקלית הוא משוואת שרדינגר המתארת את ההתנהגות של חלקיקים קוונטיים. אך גם בעולם הקוונטי ניתן למדוד רק ערכים ממשיים ולכן אנו לא מודדים את פונקציית הגל (שהיא עשויה להיות מיוצגת על ידי מספר דמיוני), אלא את הערך המוחלט שלה בריבוע.

כלומר כאשר נוסף המספר הדמיוני אל משפחת המספרים, לא למדנו מכך שום דבר חדש על העולם. רק כאשר השתמשנו במספרים אלו על מנת לנסח תופעות פיסיקליות גילינו דברים חדשים על העולם, וזאת היא כבר פיסיקה ולא מתמטיקה.

הטענות להימצאותה של המתמטיקה בטבע במקרים שאינן יישומים פיסיקליים מכילות בתוכן, לדעתי, את הנחת המבוקש (כלומר סוג של טיעון מעגלי). לדוגמא, ניתן למצוא בטבע אין ספור תופעות אשר שכיחות המופעים שלהם מתפלגת נורמלית, כלומר כמו פעמון, שכיחות מופעים גבוהה סביב הממוצע ונמוכה ככל שמתרחקים ממנו. אך בכדי לנסח את החוקיות הזאת מלכתחילה אנו הרי משתמשים במתמטיקה, ולכן חוקיות זאת אינה יכולה גם לשמש כהוכחה להמצאות המתמטיקה בטבע [2].

התפלגות נורמאלית. המקור לתמונה: וויקיפדיה.

המתמטיקה היא מדע מדויק, מדויק באופן אבסולוטי. היא נכונה במאה אחוז ללא מרווח לשגיאה. אם X פחות אחד שווה לאפס, אז X שווה לאחד. בדיוק לאחד. תמיד. מסיבה זאת, מתמטיקה היא המדע היחיד שבו ניתן להוכיח טענות באופן מוחלט וללא צורך בתצפית ואישוש. אמת מתמטית אינה מוכתבת על ידי המודל הטוב ביותר כרגע בהינתן הידע הקיים. אם משפט מתמטי הוכח כהלכה הוא איתנו לנצח.

אז מהי המתמטיקה? טוב זאת כבר שאלה ממש קשה אבל אני אנסה לשער (בקצרה). המתמטיקה, לדעתי, היא סט של חוקים קונסיסטנטיים אשר משמשים את האדם לנסח את חוקי הטבע. היא הפורמליזם [3] שבו אנו משתמשים, וללא פורמליזם לא ניתן לפתח שום רעיון מורכב. ללא הפורמליזם של המתמטיקה, הפיסיקה היא לא יותר מפילוסופיה עמומה (לדוגמא הפיסיקה של אריסטו). למעשה, המתמטיקה היא השפה בה דוברים אנשי מדעי הטבע, אך יש להיזהר עם אנלוגיה זאת. בעולמינו התפתחו שפות שונות ומשונות במקומות שונים ובהתאם לצרכים שונים (כגון מגוון שפות מדוברות, שפת הסימנים ועוד). האם יכולים אנו לנסח מתמטיקה קונסיסטנטית אחרת שתתאר את הטבע? איני יודע.

לסיכום, האם המתמטיקה היא חלק ממדעי הטבע? לדעתי לא, אך רבים וטובים ממני חולקים עלי. האם להתנשא על מתמטיקאי במסדרון הפקולטה? התשובה היא כמובן: לא. זה לא מנומס.

לקריאה נוספת: הפרק "האם המתמטיקה היא תגלית או המצאה" מהפודקאסט המומלץ של רן לוי "עושים היסטוריה" (ניתן גם לקרא את התמליל המקוצר), וכמובן גם ספרו של מריו ליביו "האם אלוהים הוא מתמטיקאי".

——————————————————————————————–
[1] ומה עם התורה האלקטרומגנטית, ומה עם מעגלי תהודה (מעגלים המכילים נגדים, קבלים וסלילים) אשר בתיאורם יש שימוש במספרים מרוכבים? יש להבחין שבמקרים אלו נעשה שימוש בתעלול מתמטי אשר מנצל את העובדה שמספר דמיוני מורכב משני איברים שאינם מתערבבים. כך ניתן לייצג בנוחות גלים אשר להם פאזה ואמפליטודה שאינם מתערבבים. שימו לב שמשוואות מקסוול אינן מכילות מספרים דמיוניים. אנו יכולים למדוד לדוגמא אמפליטודה או פאזה של שדה חשמלי אך שניהם יהיו ממשיים.
[2] הטענה המתמטית היחידה שאיני יכול להתכחש לקיומה הפיזי במציאות היא הטענה שאחד ועוד אחד הם שניים. אך האם בכוחה של טענה זאת בלבד להוליד את המתמטיקה כולה? ואם כן, אז מה בכך?
[3] ראו דיון קצר בנושא מהו פורמליזם ברשימה קודמת.

מודעות פרסומת
  1. 30/12/2011 בשעה 8:13 pm

    יש את כל תחום הגיאומטריה, שמצד אחד חלק בלתי נפרד מהמתמטיקה, ומצד שני נמצא בטבע ממש כפי שהוא – מבנה גבישים, ספירלות לוגריתמיות, מבנים משושיים (חסכוניים בחומר ומקסימליים בניצול נפח), חתך הזהב ועוד ועוד (תחומים החביבים ביותר על אבא שלי).
    אני חושב שכאן קשה שלא להתרשם שהטבע ממש כתוב ב"שפת המתמטיקה" או להיפך…

  2. 31/12/2011 בשעה 4:39 pm

    השאלה הבסיסית בכלל היא האם מתמטיקה היא מדע בכלל ועל כך חלוקות הדיעות. אם מתמטיקה היא מדע אז יש לה מאפיינים ייחודיים מאוד. למשל, אין בה ניסויים מאששים או מפריכים. אין ספק שהמתמטיקה היא כלי שהמדע משתמש בו ומתבסס עליו אבל זה לא בהכרח הופך אותה למדע.

  3. 31/12/2011 בשעה 7:01 pm

    הי גיל,
    אני מודה שהתגובה שלך הפתיעה אותי מאוד. מכיוון שהמתמטיקה היא תחום מחקר פורה באוניברסיטה שכל הזמן מניב גילויים חדשים, הנחתי באופן אוטומטי שהיא סוג של מדע. אך כעת אני מבין את הטענה שלך ומתקשה לגבש עדיין דעה.
    אני מניח שכדי לגבש דעה צריך להקדים ולקיים דיון פילוסופי שיגדיר מהו מדע.
    ואם המתמטיקה אינה מדע אז מהי? האם יש לה אח ורע שיכולים לשמש כאנלוגיה ולשפוך אור על מהותה?
    האם תוכל להפנות לטקסט שדן בשאלה שהעלת: 'האם המתמטיקה היא מדע?'. הייתי מעוניין לקרא על כך.

  4. אלון
    06/04/2013 בשעה 1:53 am

    אני סטודנט למתמטיקה ולפי ההיררכיה שמקובלת אצלנו היא הרחק מלמעלה. אותו דבר יאמר לך כל סטודנט לתואר המשולב פיסיקה מתמטיקה…
    בנוסף, ממליץ לך לקרוא קצת על תורת הקבוצות, נדמה לי שזה יפריך אצלך כמה דעות קדומות על המתמטיקה.
    נהנתי לקרוא 🙂

  5. 06/04/2013 בשעה 4:40 am

    תודה אלון.
    לגבי כל מי שלמד פיסיקה-מתמטיקה, אישית אני מכיר אדם אחד שכלל אינו מסכים איתך. אחד זה כל מה שאני צריך 🙂
    איזה דעות קדומות? אתה קורא לי גזען?!

  1. No trackbacks yet.

כתיבת תגובה

הזינו את פרטיכם בטופס, או לחצו על אחד מהאייקונים כדי להשתמש בחשבון קיים:

הלוגו של WordPress.com

אתה מגיב באמצעות חשבון WordPress.com שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Twitter

אתה מגיב באמצעות חשבון Twitter שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Facebook

אתה מגיב באמצעות חשבון Facebook שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת גוגל פלוס

אתה מגיב באמצעות חשבון Google+ שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

מתחבר ל-%s

%d בלוגרים אהבו את זה: